Le but du cours est de montrer le rôle de phénomènes topologiques dans deux domaines différents de la physique quantique. D’une part dans les spectres en bandes ro-vibrationnels (ou vibro-électroniques) en physique moléculaire et d’autre part dans l’effet Hall quantique entier en physique du solide.

Nous présenterons ces situations physiques dans des modèles simples, en soulignant les points communs entre ces deux problèmes, comme l’existence d’espaces fibrés vectoriels, provenant d’un spectre en bandes dans les deux cas. La topologie de ces fibrés est caractérisée par des classes de Chern, s’exprimant par des indices topologiques entiers.

Nous montrerons que les manifestations physiques sont cependant différentes : en physique moléculaire, les indices topologiques calculés dans le cadre de l’approximation adiabatique de Born-Oppenheimer permettent d’obtenir le nombre exact (expérimental) de niveaux d’énergie contenus dans une bande moléculaire, à l’aide d’une formule de l’indice d’Atiyah-Singer. En physique du solide, l’indice topologique d’une bande donne la conductivité de Hall entière de celle-ci.

Programme:

• Cours 1 et 2 : Couplage rotationnel et vibrationnel dans un petite molécule. Indices topologiques de Chern dans l’approximation de Born-Oppenheimer. Manifestations dans le spectre expérimental. Etats cohérents. Représentation de Bargmann et Husimi sur l’espace de phase. Fibrés vectoriels. Connection et courbure.
• Cours 3 : Couplage vibrationnel-électronique dans un petite molécule. Modèle plus riche avec des bandes topologiquement couplées. Espace de phase réduit. Formule de l’indice d’Atiyah-Singer.
• Cours 4 et 5 : Un modèle simple pour l’effet Hall quantique entier. Indices topologiques de Chern et conductance.
• Cours 6 : Calcul semi-classique des indices topologiques. Rôle de l’effet tunnel et du chaos quantique.