Ce cours initiera, par une suite d’exemples, aux bases de l’approche semi-classique exacte en mécanique quantique. Ce thème recouvre un ensemble de techniques mathématiques capables d’analyser, et parfois de résoudre, l’équation de Schrödinger à partir de la seule dynamique classique. La caractéristique distinctive de ces méthodes, par opposition aux schémas semi-classiques usuels, est de n’impliquer ni approximation ni passage à la limite (la constante de Planck contrainte à tendre vers zéro par exemple).

La présentation privilégiera les aspects pédagogiques. La première séance fera un survol du sujet dans une perspective très générale. Les aspects plus techniques ne seront abordés qu’en dernier lieu.

Parmi les thèmes envisagés :

• Divergence et resommation de type Borel des développements semi-classiques ;
• Rôle des trajectoires classiques complexes, effet tunnel, phénomène de Stokes ;
• Formules de trace, fonctions résurgentes et leurs relations fonctionnelles ;
• Exemples :
  • spectroscopie d’échelle en physique atomique ;
  • spectre du laplacien sur une surface ;
  • fonctions zêta à la Selberg ;
  • quantification exacte des niveaux d’oscillateurs anharmoniques à 1D ;
  • nouveau(x) point de vue (et résultats) sur la fonction d’Airy.