Les progrès technologiques permettent depuis peu de tailler et d’usiner la matière à des échelles nanométriques, où de nouveaux effets quantiques caractérisent la conduction électronique à basse temperature. Leur grande universalité s’explique par la théorie des matrices aléatoires. Ce cours a pour but d’introduire des exemples de ces effets propres aux systèmes mésoscopiques, et d’en donner une description théorique dans quelques limites bien comprises. Suivant le temps disponible, des idées plus récentes relatives au problème quantique général avec désordre et interaction seront abordées.

Sujets abordés:

• Transport quantique dans des cavités balistiques où la dynamique classique est chaotique. Application des ensembles circulaires de Dyson aux calculs de la variance universelle de la conductance et de la localisation faible. Mouvement brownien pour la matrices de diffusion \(S\) et hamiltonien de type Calogero-Sutherland associé.
• Transport quantique dans des systèmes désordonnés quasi-unidimensionnels. Mouvement brownien pour la matrice de transfert \(M\) et hamiltonien de type Calogero-Sutherland correspondant. Rôle des brisures de symétrie (par renversement du sens du temps et du sens des spins) sur la longueur de localisation.
• Nombre de Thouless et théorie d’échelle de la localisation. Statistique des niveaux d’énergie dans les systèmes désordonnés. Ses trois formes universelles dans la limite thermodynamique: Wigner-Dyson (métal); Poisson (isolant) et critique (bord de mobilité).
• Nombre de Thouless en présence de désordre et d’interaction. Ensemble de matrices aléatoires creuses avec base préférentielle. Statistiques spectrales et longueurs de localisation. Temps de vie des quasi-particules dans une boîte quantique et problème de la localisation dans l’espace de Fock.