En physique comme en mathématique, l’analyse de systèmes intégrables a souvent conduit à la cristallisation de nouveaux concepts. C’est le cas, par exemple, du modèle d’Ising des transitions de phase. Plus récemment, de telles études ont abouti à l’émergence de la notion de séparation spin-charge dans les systèmes électroniques, ou encore à celle de groupes quantiques.

Ce cours a pour but d’introduire un échantillon des méthodes de résolution des systèmes quantiques intégrables. Suivant le temps disponible, les points suivants pourront être abordés:

• L’ansatz de Bethe sera présenté en étudiant le gaz de Bose, un système uni-dimensionnel de particules en interaction. Cela permettera d’introduire les équations de l’ansatz de Bethe, ainsi que leur étude dans la limite thermodynamique.
• La chaîne de spin de Heisenberg, un modèle de système anti-ferromagnétique, sera pris comme exemple pour introduire l’ansatz de Bethe algébrique. Cela conduira naturellement à la description des excitations élémentaires de ces systèmes en termes de spinons, mais permettera aussi d’aborder la notion de groupe quantique.
• Les théories des champs quantiques intégrables seront décrites comme perturbations des théories conformes. On prendra comme exemple le modèle de sine-Gordon. Ceci permettra d’introduire les notions de bosonisation - fermionisation, celles de symétries quantiques ainsi que celles de diffusions factorisées.
• L’étude des fonctions de corrélations du modèle d’Ising servira à introduire la notion de fonctions \(\tau\), outil moderne de la théorie des systèmes intégrables classiques.