Alain Comtet (LPTMS Orsay, UMPC Paris)
Le mouvement brownien est d'abord un phénomène naturel, décrit par le botaniste Robert Brown en 1828, puis étudié par des sommités de la physique et des mathématiques, dont Albert Einstein, Marian Smoluchowski, Paul Langevin, Jean Perrin, Norbert Wiener, Andrey Kolmogorov et Paul Lévy.
Son idéalisation par Paul Lévy a conduit à l'un des objets mathématiques les plus étudiés en théorie des probabilités. Une grande variété de problèmes de physique statistique peuvent se reformuler en termes de fonctionnelles plus ou moins complexes du mouvement brownien unidimensionnel.
Alain Comtet, chercheur au LPTMS à Orsay et professeur émérite à l’Université Pierre et Marie Curie, est un physicien renommé pour ses travaux sur les systèmes de basse dimension, les systèmes désordonnés classiques et quantiques, et les processus stochastiques en général.
L’objectif de ce cours est de présenter quelques propriétés élémentaires du mouvement brownien en dimension 1 et d’étudier certaines fonctionnelles browniennes par des méthodes d’intégrales de chemin. Nous donnerons des applications à des problèmes de diffusion en milieu aléatoire, de localisation quantique et de fluctuations d’interfaces.
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Temps d’occupation et temps local.
Rappel: formule de Feynman-Kac et variantes. Temps local. Comportement dans les cas récurrents et transients. Inverse du temps local. Théorème de Ray-Knight et oscillateur harmonique dépendant du temps. -
Processus de Riccati et diffusions unidimensionnelles.
Persistance dans le modèle de Sinai. Fractions continues et diffusions. Fractions continues aléatoires. Applications du processus de Riccati à l’étude de la densité d’états dans un potentiel aléatoire. Distribution de l’énergie de l’état fondamental dans un système fini. -
Fonctionnelles du maximum.
Fluctuation maximale d’une interface d’Edwards-Wilkinson. Interprétation trajectorielle. Méandres, ponts, excursions et applications. -
Mouvement brownien hyperbolique et applications.
Marche aléatoire sur le groupe affine. Interprétation géométrique. Limite continue. Exemples.
