Les modèles de matrices sont un outil pour étudier de nombreux phénomènes physiques et ont aussi de nombreuses applications en mathématiques. Ce cours a pour but de montrer, à travers l'exemple des matrices aléatoires, le lien entre intégrabilité et géométrie algébrique.

Nous introduirons d'abord une famille de polynômes orthogonaux qui satisfont un système d’équations différentielles intégrables. Nous ferons alors apparaître une courbe algébrique, appelée courbe spectrale.

Dans une seconde partie, nous montrerons que le comportement à grande taille (N grand) des modèles de matrices s'exprime naturellement dans le langage de la géométrie algébrique et nous introduirons des notions de base de géométrie algébrique.

Pour terminer, nous comparerons les deux approches, par exemple en calculant les comportements asymptotiques à N grand des polynômes orthogonaux.

Programme des quatre cours:

1. Introduction et généralités sur les matrices aléatoires. Polynômes orthogonaux. Notion de système intégrable et déformations isomonodromiques. Calcul de la courbe spectrale.
2. Méthode des boucles. Développement topologique, interprétation combinatoire. Équation algébrique.
3. Introduction à la géométrie algébrique, exemple des courbes hyper elliptiques.
4. Calculs de différentes observables dans les deux méthodes. Exemples du calcul des asymptotiques de polynômes orthogonaux et calcul du développement de l'énergie libre.