Introduction aux matrices aléatoires

Les matrices aléatoires fournissent un outil d’étude puissant pour de nombreux champs de la physique et des mathématiques : chaos quantique, QCD, systèmes désordonnés, physique statistique sur surfaces aléatoires, théories conformes, gravitation quantique, cordes, etc. Nous verrons comment les modèles de matrices apparaissent dans chacun de ces domaines, et ce qu’ils peuvent apporter.

Universalité et lois de répartition des valeurs propres

La raison du succès des matrices aléatoires est leur propriété d’ “universalité”. Nous verrons les ensembles gaussiens : GOE, GUE, GSE, et d’autres... et les modèles non gaussiens.

Développement diagrammatique : surfaces discrétisées

Les diagrammes de Feynmann des intégrales de matrices permettent de représenter des surfaces discrétisées. Nous verrons par exemple comment modéliser Ising sur une surface aléatoire. Et nous verrons le lien avec les théories conformes (via KPZ).

La méthode du col

La méthode des polynomes orthogonaux

La méthode des équations du mouvement

La double limite d’échelle

Ou comment garder des surfaces de toutes topologies, tout en prenant la limite N grand. C’est cette limite que l’on voudrait utiliser pour décrire la théorie des cordes. Nous verrons comment les hiérarchies intégrables (KDV) apparaissent dans le cadre des matrices aléatoires.